高校数学の基礎を徹底解説！単項式・多項式・整式の世界へようこそ

2025.07.02

はじめに：代数学への第一歩

数学の学習は、新しい言語を学ぶことに似ています。小学校で「数」という言葉を覚え、計算ルールを学んだように、中学校、そして高校では「文字」という新しい言葉が登場し、その扱い方を学びます。この「文字式」こそが、方程式や関数といった、より高度でエキサイティングな数学の世界を探検するための、すべての基礎となるパスポートです。

これから皆さんが学ぶ「単項式」「多項式」「整式」は、その文字式を扱う上での、最も基本的で、最も重要なルールブックです。一見すると、たくさんの専門用語が出てきて難しそうに感じるかもしれません。しかし、一つ一つの用語の意味を正しく理解し、ルールに従って丁寧に操作すれば、それは驚くほどシンプルで、論理的な世界であることが分かります。

この記事は、そんな代数学への第一歩を踏み出す皆さんのための、徹底的なガイドブックです。

式の「部品」の名前と役割が分かります。
式を「種類」ごとに分類できるようになります。
複雑に見える式を、美しく「整理」する方法が身につきます。
式同士の「足し算・引き算・掛け算」が、自信を持ってできるようになります。

ここで学ぶ知識は、単にテストで点を取るためだけのものではありません。物事を論理的に分析し、複雑な問題を単純な要素に分解し、ルールに基づいて解決へと導く。そんな、社会に出てからも役立つ普遍的な思考力を養うための、最高のトレーニングです。

さあ、心配は要りません。焦らず、一つずつ、一緒に学んでいきましょう。このガイドを読み終える頃には、あなたは文字式の世界を自由に冒険するための、確かな羅盤と地図を手にしているはずです。

式の解剖学 ― すべての式を構成する基本パーツ

複雑な機械も、元をたどればネジや歯車といった単純な部品の集まりです。数学の式も同様に、いくつかの基本的な「パーツ」から成り立っています。まずは、これらのパーツの名前と役割を正確に理解することから始めましょう。これが、式と仲良くなるための最初のステップです。

すべての始まり「項 (Term)」

まず、最も基本的な単位である「項（こう）」について学びます。

【定義】項 (Term) 数や文字、およびそれらの掛け算（乗法）だけで作られている式のひとかたまりのことです。

具体例を見てみましょう。以下はすべて「項」です。

7x (7とxの掛け算)
−3a2 (−3とaとaの掛け算)
5xy (5とxとyの掛け算)
y (1とyの掛け算)
10 (数だけでも項です)
frac12b3 ($\\frac{1}{2}$と$b$とbとbの掛け算)

ここで非常に重要なポイントは、項は掛け算のみで構成されている、という点です。足し算（加法）や引き算（減法）が間に入ると、そこは項の切れ目になります。

例えば、式 3x+5y−2 を見てみましょう。この式は、+ と – の記号で区切られた、以下の3つの「項」から成り立っています。

3x
5y
−2

このように、式は「項」というブロックが集まってできているとイメージしてください。

文字のパートナー「係数 (Coefficient)」

次に、項の中の「数字の部分」に着目します。これを「係数（けいすう）」と呼びます。

【定義】係数 (Coefficient) 項の数字の部分のことです。

係数は、その項に掛けられている文字が「いくつ分あるか」を示しています。

図表1：項の構造

項の例	係数	文字の部分
7x	7	x
−3a2	−3	a2
5xy	5	xy
frac12b3	frac12	b3

係数を考える上で、いくつか注意すべき点があります。

符号も係数の一部：係数には、数字の前の + や – の符号も含まれます。例えば、−3a2 の係数は 3ではなく、-3 です。
係数が1の場合： x や a2b のように、数字が見当たらない項があります。この場合、係数は 1が省略されています。x は 1timesx のことなので、係数は 1 です。同様に、−y の係数は -1 です。
定数項： 10 や −2 のように、文字を全く含まない項を特別に「定数項（ていすうこう）」と呼びます。これは、変数の値によらず、常に一定の値をとるためです。

文字の力「次数 (Degree)」

最後に、項の「文字の部分」に着目し、その「強さ」や「次元」を表す「次数（じすう）」について学びます。

【定義】次数 (Degree) 項の中に、掛け合わされている文字の個数のこと。

指数の知識を使うと、次数は「文字の指数の合計」と言い換えることができます。

図表2：項の次数の計算

項の例	掛け合わされている文字	文字の個数（次数）
7x	x	1個 → 1次
−3a2	a,a	2個 → 2次
5xy	x,y	2個 → 2次
y	y	1個 → 1次
frac12b3	b,b,b	3個 → 3次

次数に関しても、重要なポイントがいくつかあります。

定数項の次数： 10 や −2のような定数項には、文字が1つも掛けられていません（0個）。したがって、定数項の次数は 0 です。これは非常に重要なルールなので、必ず覚えてください。
特定の文字に着目した次数：複数の種類の文字を含む項では、「特定の文字について」の次数を考えることがあります。
- 例：項 8x2y3z を考えてみましょう。
  - この項全体の次数は、掛けられている文字の総数なので、xが2個、yが3個、zが1個で、合計 2+3+1=6です。よって、この項は6次の項です。
  - xに着目した次数は、xだけを数えて2次です。
  - yに着目した次数は、yだけを数えて3次です。
  - zに着目した次数は、zだけを数えて1次です。

このように、「どの文字に着目するか」によって、同じ項でも次数が変わってくる場合があります。問題文で「xについての次数」のように指定があった場合は、その指示に従う必要があります。

ここまでで、式の基本パーツである「項」「係数」「次数」について学びました。これらの言葉は、これから先、何度も繰り返し登場します。それぞれの意味を正確に理解しておくことが、今後の学習をスムーズに進めるための鍵となります。

式の分類学 ― 単項式・多項式・整式の世界

基本パーツの役割を理解したところで、次はそのパーツがどのように組み合わさって「式」という全体を形作るのかを見ていきましょう。式は、その構造によっていくつかの種類に分類されます。

シンプルな構成単位「単項式 (Monomial)」

最もシンプルな式の形が「単項式（たんこうしき）」です。

【定義】単項式 (Monomial) ただ1つの項だけでできている式のことです。

名前の通り、「単（ひとつ）の項の式」です。第1部で例に挙げたものは、すべて単項式です。

単項式の例：
- 5x
- −y
- 8a2b
- 100 (定数項も単項式です)

単項式の次数は、その項自身の次数と同じです。例えば、8a2b は、文字が a,a,bの3個掛けられているので、3次の単項式（または、3次式）と呼びます。

単項式の集合体「多項式 (Polynomial)」

次に、単項式が複数集まってできた式、「多項式（たこうしき）」です。

【定義】多項式 (Polynomial) 2つ以上の単項式の和（足し算）の形で表される式のことです。

こちらも名前の通り、「多（おおく）の項の式」です。

多項式の例：
- 3x+5 ( 3x と 5 という2つの項からなる多項式)
- x2−4x+3 ( x2, −4x, 3 という3つの項からなる多項式)
- a3−2ab2+7b−1 (4つの項からなる多項式)

【注意】引き算は、負の数の足し算と考えることができます。例えば、x2−4x+3 は、x2+(−4x)+3と見なせるため、「単項式の和」という定義に当てはまります。

多項式の次数

単項式の次数は単純でしたが、多項式の次数はどのように決まるのでしょうか。ルールは以下の通りです。

【定義】多項式の次数多項式に含まれる各項の次数の中で、最も大きいものを、その多項式の次数とする。

例を見てみましょう。

例1：多項式 x2−4x+3
- 項 x2 の次数は 2
- 項 −4x の次数は 1
- 項 3 の次数は 0
- この中で最も大きい次数は 2 なので、この多項式は2次式です。
例2：多項式 a3−2ab2+7b−1
- 項 a3 の次数は 3
- 項 −2ab2 の次数は 1+2=3
- 項 7b の次数は 1
- 項 −1 の次数は 0
- この中で最も大きい次数は 3 なので、この多項式は3次式です。

単項式と同様に、特定の文字に着目して次数を考えることもあります。

例3：多項式 5x2y+3xy3−y2+7
- 式全体の次数（xとyの両方を文字と見る場合）：
  - 5x2y の次数は 2+1=3
  - 3xy3 の次数は 1+3=4
  - −y2 の次数は 2
  - 7 の次数は 0
  - 最も大きい次数は 4 なので、この式は4次式です。
- xについての次数（yはただの数と見る場合）：
  - 5x2y の x の次数は 2
  - 3xy3 の x の次数は 1
  - −y2 と 7 には x がないので次数は 0
  - 最も大きい x の次数は 2 なので、この式は xについての2次式です。

「整式」とは何か？

最後に「整式（せいしき）」という言葉です。これは少し紛らわしいかもしれませんが、高校数学では非常にシンプルに定義されます。

【定義】整式 (Polynomial Expression) 単項式と多項式を、あわせて呼ぶときの総称。

つまり、「整式」という大きなグループがあり、その中に「単項式」と「多項式」が含まれている、と考えることができます。

図表3：単項式・多項式・整式の関係

  +--------------------------------------------------+
  | 整式 (Polynomial Expression)                     |
  |                                                  |
  |  +--------------------------------------------+  |
  |  | 多項式 (Polynomial)                        |  |
  |  | (例: x^2 + 2x + 1)                         |  |
  |  |                                            |  |
  |  |   +------------------------------------+   |  |
  |  |   | 単項式 (Monomial)                  |   |  |
  |  |   | (例: 5x, -3y^2, 10)                |   |  |
  |  |   +------------------------------------+   |  |
  |  |                                            |  |
  |  +--------------------------------------------+  |
  |                                                  |
  +--------------------------------------------------+

【補足】単項式は「項が1つの多項式」と見なすこともできます。そのため、数学のより厳密な文脈では、「多項式」という言葉だけで、単項式も含む場合が多いです。しかし、高校数学の導入段階では、式の構造を分かりやすく理解するために、「単項式（項が1つ）」と「多項式（項が2つ以上）」を区別し、それらをまとめて「整式」と呼ぶのが一般的です。

「次の整式の次数を答えなさい」という問題が出たら、「単項式か多項式かに関わらず、その式の次数を答えればよい」と理解してください。

式の整理術 ― 複雑な式を美しく整える

たくさんの項が並んだ多項式は、そのままでは非常に見づらく、扱いにくいものです。計算を始めたり、式の性質を調べたりする前に、まずは式を「整理」して、見やすく、分かりやすい形に変える技術を学びましょう。

仲間集め ― 同類項をまとめる

多項式の中には、文字の部分が全く同じ「仲間」の項が存在することがあります。これを「同類項（どうるいこう）」と呼びます。

【定義】同類項 (Like Terms) 多項式の中で、文字の部分が完全に一致している項のことです。

例1： 3x+5y+2x−y
- 3x と 2x は、文字の部分が x で同じなので同類項です。
- 5y と −y は、文字の部分が y で同じなので同類項です。
例2： 4a2−2ab+3a2+5ab
- 4a2 と 3a2 は、文字の部分が a2 で同じなので同類項です。
- −2ab と 5ab は、文字の部分が ab で同じなので同類項です。
注意： 3x2y と 2xy2 は、使われている文字の種類 (xとy) は同じですが、それぞれの個数（次数）が異なります。文字の部分が完全に一致していないため、これらは同類項ではありません。

同類項をまとめる計算

同類項は、係数同士を足し引きすることで、1つの項にまとめることができます。これは、数学の分配法則 ma+na=(m+n)a を利用しています。

例1の計算： 3x+2x=(3+2)x=5x 5y−y=(5−1)y=4yよって、元の式 3x+5y+2x−y を整理すると、 (3x+2x)+(5y−y)=5x+4y となります。項の数が4つから2つに減り、非常にスッキリしました。
例2の計算： 4a2+3a2=(4+3)a2=7a2 −2ab+5ab=(−2+5)ab=3abよって、元の式 4a2−2ab+3a2+5ab を整理すると、 (4a2+3a2)+(−2ab+5ab)=7a2+3ab となります。

このように、複雑な多項式を見たら、まずは同類項がないかを探し、仲間同士でまとめてあげるのが、式を整理する上での基本中の基本です。

式の整列 ― 降べきの順と昇べきの順

同類項をまとめた後、さらに式を美しく見せるための「整列」のルールがあります。それが「降べきの順（こうべきのじゅん）」です。

【定義】降べきの順 (Descending Order of Powers) 特定の文字に着目し、その文字の次数が高い項から低い項へと、順番に項を並べること。

「降べき」とは、「次数が降りていく」という意味です。これは、数学の世界における式の標準的な書き方であり、この形で書いておくと、誰が見ても分かりやすく、後の計算もしやすくなります。

例1： xについての式 3x−7+5×3−x2
1. 各項の x の次数を調べる。
  - 3x → 1次
  - −7 → 0次
  - 5×3 → 3次
  - −x2 → 2次
2. 次数が高い順に並べ替える。
  - 5×3 (3次) → −x2 (2次) → 3x (1次) → −7 (0次)
3. 降べきの順に整理した式： 5×3−x2+3x−7
例2： xについての式 2xy2+4x3y−5×2+8
1. 各項の x の次数を調べる（yは数字扱い）。
  - 2xy2 → xの次数は 1
  - 4x3y → xの次数は 3
  - −5×2 → xの次数は 2
  - 8 → xの次数は 0
2. xの次数が高い順に並べ替える。
  - 4x3y (3次) → −5×2 (2次) → 2xy2 (1次) → 8 (0次)
3. xについて降べきの順に整理した式： 4x3y−5×2+2xy2+8

昇べきの順 (Ascending Order of Powers)

降べきの順とは逆に、次数が低い項から高い項へと並べる方法を「昇べきの順（しょうべきのじゅん）」と呼びます。

例1を昇べきの順にすると： −7+3x−x2+5×3

昇べきの順は、降べきの順ほど頻繁には使われませんが、数学の特定の分野（例えば、無限級数の展開など）で重要になります。通常、問題で特に指定がなければ、降べきの順に整理するのがマナーだと覚えておきましょう。

式の四則演算 ― 整式の足し算・引き算・掛け算

式の整理方法を学んだところで、いよいよ整式同士の計算に挑戦します。数の計算と同じように、式にも足し算、引き算、掛け算、割り算（これは少し発展的な内容なので、別の機会に詳しく学びます）があります。

整式の加法と減法（足し算と引き算）

整式の足し算と引き算の基本は、第3部で学んだ「同類項をまとめる」ことに尽きます。

計算の手順：

括弧を外す。
同類項を見つけて、まとめる。

これだけです。ただし、括弧の外し方には注意が必要です。

加法（足し算）： +(…) のように、括弧の前に + がある場合は、括弧の中の符号はそのままで括弧を外します。
減法（引き算）： -(…) のように、括弧の前に – がある場合は、括弧の中のすべての項の符号を逆にして括弧を外します。これは、-1を分配法則で掛けているのと同じです。

例題1：加法 A=2×2−3x+5, B=4×2+x−6 のとき、A+B を計算しなさい。

A+B=(2×2−3x+5)+(4×2+x−6) =2×2−3x+5+4×2+x−6 (← 括弧をそのまま外す) =(2×2+4×2)+(−3x+x)+(5−6) (← 同類項を集める) =6×2−2x−1

例題2：減法同じ A,B で、A−B を計算しなさい。

A−B=(2×2−3x+5)−(4×2+x−6) =2×2−3x+5−4×2−x+6 (← Bの括弧内の符号がすべて逆になる！) =(2×2−4×2)+(−3x−x)+(5+6) (← 同類項を集める) =−2×2−4x+11

筆算による計算

複雑な式の足し算・引き算では、数の計算と同じように「筆算」を使うと、間違いを減らすことができます。ポイントは、同類項の場所を縦に揃えて書くことです。

図表4：整式の筆算

加法 (A+B)

  2x^2 - 3x + 5
+) 4x^2 +  x - 6
------------------
  6x^2 - 2x - 1

減法 (A-B)

  2x^2 - 3x + 5
-) 4x^2 +  x - 6
------------------
 -2x^2 - 4x + 11

(引き算の場合は、下の式の各項の符号を逆にして足し算すると考えます)

整式の乗法（掛け算）

整式の掛け算は、「指数法則」と「分配法則」という2つの強力なツールを使って行います。

ツールの確認

指数法則 (Laws of Exponents): 文字の掛け算に関するルールです。特に重要なのは amtimesan=am+n です。
- 例：x2timesx3=(xcdotx)times(xcdotxcdotx)=x5=x2+3
分配法則 (Distributive Property): 括弧を含む掛け算のルールです。
- a(b+c)=ab+ac
- (a+b)c=ac+bc

計算の種類

(1) (単項式) × (単項式) 係数同士、同じ文字同士をそれぞれ掛け合わせます。

例：3x2times(−2x3y) =(3times−2)times(x2timesx3)timesy =−6timesx2+3timesy =−6x5y

(2) (単項式) × (多項式) 分配法則を使って、単項式を多項式のすべての項に、順番に掛け合わせます。

例：3a(2a2−4ab+5) =(3atimes2a2)+(3atimes−4ab)+(3atimes5) =6a3−12a2b+15a

(3) (多項式) × (多項式) これが整式の乗法の基本形です。分配法則を複数回、適用します。一方の多項式の各項を、もう一方の多項式のすべての項に、順番に掛け合わせます。

例：(x+2)(x2−3x+4)ステップ1：まず、前の括弧の x を、後ろの括弧のすべてに掛ける。 x(x2−3x+4)=x3−3×2+4xステップ2：次に、前の括弧の +2 を、後ろの括弧のすべてに掛ける。 +2(x2−3x+4)=+2×2−6x+8ステップ3：ステップ1と2の結果をすべて足し合わせ、同類項をまとめる。 (x3−3×2+4x)+(2×2−6x+8) =x3−3×2+2×2+4x−6x+8 =x3−x2−2x+8

この計算プロセスを「式を展開する」と言います。

面積図を使った展開のイメージ

多項式の掛け算は、長方形の面積を求めるイメージで視覚的に理解することができます。例えば、(a+b)(c+d) の展開を考えてみましょう。これは、縦の長さが (a+b)、横の長さが $(c+d)$の長方形の面積と同じです。

図表5：面積図による展開

      c       d
  +-------+-------+
a |       |       |
  |  ac   |  ad   |
  |       |       |
  +-------+-------+
b |       |       |
  |  bc   |  bd   |
  |       |       |
  +-------+-------+

この図から、全体の面積は4つの小さな長方形の面積の合計、すなわち ac+ad+bc+bdになることが一目瞭然です。これは、分配法則を繰り返して計算した結果と一致します。

乗法のショートカット ― 展開公式を使いこなす

毎回、分配法則を使って多項式の掛け算を展開するのは、少し手間がかかります。特に、よく出てくる形の式については、計算結果を公式として覚えておくと、計算スピードと正確さが飛躍的に向上します。これを「展開公式（または乗法公式）」と呼びます。

展開公式は、単なる暗記項目ではありません。すべて、分配法則を使って導き出せる、いわば「計算のショートカット」です。その意味を理解しながら覚えましょう。

公式1＆2：平方公式 (Square of a Sum/Difference)

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2

意味： (a+b)2 は (a+b)(a+b) のことです。これを展開すると、 a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 となります。
覚え方： (前の項)2 ± 2×(前の項)×(後の項) + (後の項)2
例：
- (x+3)2=x2+2cdotxcdot3+32=x2+6x+9
- (2x−5y)2=(2x)2−2cdot(2x)cdot(5y)+(5y)2=4×2−20xy+25y2

公式3：和と差の積 (Product of a Sum and Difference)

(a+b)(a−b)=a2−b2

意味：これも展開すると、 a(a−b)+b(a−b)=a2−ab+ba−b2=a2−b2 となり、真ん中の項が打ち消しあって消えます。
覚え方： (前の項)2 – (後の項)2
例：
- (x+7)(x−7)=x2−72=x2−49
- (3a+4b)(3a−4b)=(3a)2−(4b)2=9a2−16b2

公式4：xについての1次式の積

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

意味：展開すると、 x(x+b)+a(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab となります。
覚え方： x2 + (定数項の和)x + (定数項の積)
例：
- (x+2)(x+5)=x2+(2+5)x+(2cdot5)=x2+7x+10
- (x−6)(x+4)=x2+(−6+4)x+(−6cdot4)=x2−2x−24

これらの展開公式は、今後の数学（特に因数分解や二次方程式）で、呼吸をするように自然に使うことになります。今は少し大変に感じるかもしれませんが、たくさんの問題を解いて、体に染み込ませていきましょう。

まとめ：新しい言語の文法を学んだあなたへ

お疲れ様でした。この記事では、代数学の基礎となる「整式」の世界を、その基本パーツから計算ルールまで、一通り探検してきました。

最後に、今回学んだ重要なキーワードを振り返ってみましょう。

式の部品：項、係数、次数、定数項
式の種類：単項式、多項式、そしてそれらを合わせた整式
式の整理：同類項をまとめ、降べきの順に並べる
式の計算：
- 加法・減法は、同類項をまとめる。
- 乗法は、指数法則と分配法則を駆使して展開する。
計算の効率化：展開公式は、よく使う乗法を高速化するショートカット。

これらの概念とルールは、いわば「文字式」という言語の文法です。文法を知らなければ、単語（数や文字）を知っていても、意味のある文章（方程式や関数）を組み立てることはできません。

今回学んだ内容は、これから皆さんが挑戦する、より複雑で、より面白い数学の問題を解くための、揺るぎない土台となります。二次関数、三角関数、微分・積分… これらすべての分野で、整式の計算は当たり前のように登場します。

今は、一つ一つの計算を、焦らず、丁寧に、ルールを確認しながら進めることが何よりも大切です。たくさんの練習問題を解くことで、計算のスピードと正確さは必ず向上します。

あなたは今、数学という広大な世界を旅するための、新しい言語の文法を習得しました。この新しい力を使って、どんな問題が解けるようになるのか、ぜひワクワクしながら、次のステップへ進んでいってください。